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<!DOCTYPE html>

<title>Prozent</title>

</head>

<h1 id="firstHeading" class="firstHeading mw-first-heading"><span class="mw-page-title-main">Prozent</span></h1>

</header>

</div>

<th colspan="2" bgcolor="#FFDEAD"><a href="Hilfsma%C3%9Feinheit" title="Hilfsmaßeinheit">Hilfsmaßeinheit</a>

</th></tr>

<tr>

<td>Einheitenname</td>

<td>Prozent

</td></tr>

<tr>

<td><a href="Einheitenzeichen" title="Einheitenzeichen">Einheitenzeichen</a>

</td>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \%}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/e5a85b333ac4e07604aff5d6d89bba8c2341802b.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.936ex; height:2.343ex;" alt="{\displaystyle \%}" loading="lazy"></span>

</td></tr>

<tr>

<td><a href="Formelzeichen" title="Formelzeichen">Formelzeichen</a>

</td>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\mathit {p}}}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/1f74855490ee91798c08fc6e61c81a2ff6aa6a5b.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; margin-right: -0.016ex; width:1.204ex; height:2.009ex;" alt="{\displaystyle {\mathit {p}}}" loading="lazy"></span>

</td></tr>

<tr>

<td>Typ

</td>

<td>Quotient

</td></tr>

<tr>

<td>Definition

</td>

<msup>

</mrow>

</msup>

</mrow>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \mathrm {1\,\%=1\cdot 10^{-2}=0{,}01} }</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/e6a76c3b6e6d875567f0b686e58ce5a6634039a7.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:21.316ex; height:3.009ex;" alt="{\displaystyle \mathrm {1\,\%=1\cdot 10^{-2}=0{,}01} }" loading="lazy"></span>

</td></tr>

<tr>

<td>Benannt nach

</td>

<td><span style="font-style:normal;font-weight:normal"><a href="Italienische_Sprache" title="Italienische Sprache">italienisch</a></span> <span lang="it-Latn" style="font-style:italic">per cento</span>, „für hundert, vom Hundert“

</td></tr>

<tr>

<td colspan="2"><i>Siehe auch:</i> <a href="Promille" title="Promille">Promille</a>, <a href="Parts_per_million" title="Parts per million">ppm</a>, <a href="Parts_per_billion" title="Parts per billion">ppb</a>

</td></tr></tbody></table>

<p>Zahlenangaben in <b>Prozent</b> (von <a href="Latein" title="Latein">lateinisch</a>-<a href="Italienische_Sprache" title="Italienische Sprache">italienisch</a> <i>per cento</i> „von Hundert, Hundertstel“)<sup id="cite_ref-1" class="reference"><a href="#cite_note-1"><span class="cite-bracket">[</span>1<span class="cite-bracket">]</span></a></sup> sollen Größenverhältnisse veranschaulichen und vergleichbar machen, indem die Größen zu einem einheitlichen Grundwert (Hundert) ins Verhältnis gesetzt werden. Daher wird das Prozent auch als <a href="Hilfsma%C3%9Feinheit" title="Hilfsmaßeinheit">Hilfsmaßeinheit</a> für <a href="Physikalische_Gr%C3%B6%C3%9Fe#Besondere_Größen" title="Physikalische Größe">Verhältnisgrößen</a> verwendet.

Vor allem ältere Gesetzestexte verwenden den Ausdruck „vom Hundert“<sup id="cite_ref-2" class="reference"><a href="#cite_note-2"><span class="cite-bracket">[</span>2<span class="cite-bracket">]</span></a></sup> (abgekürzt: „vH“ oder „v. H.“); das <a href="Deutsches_Institut_f%C3%BCr_Normung" title="Deutsches Institut für Normung">Deutsche Institut für Normung</a> empfiehlt jedoch, diesen Ausdruck zu vermeiden.<sup id="cite_ref-3" class="reference"><a href="#cite_note-3"><span class="cite-bracket">[</span>3<span class="cite-bracket">]</span></a></sup>

</p><p>Prozentangaben werden durch das <a href="Prozentzeichen" title="Prozentzeichen">Prozentzeichen</a> % kenntlich gemacht (zum Beispiel 63,7 %). Laut <a href="DIN_5008" title="DIN 5008">DIN 5008</a> wird dabei zwischen der Zahl und dem Prozentzeichen ein <a href="Leerzeichen" title="Leerzeichen">Leerzeichen</a> gesetzt. Eine Prozentangabe kann als <a href="Bruchrechnung" title="Bruchrechnung">Bruch</a> (19 % = 19/100) oder als <a href="Dezimalsystem" title="Dezimalsystem">Dezimalzahl</a> (19 % = 0,19) aufgefasst werden.

</p>

<div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Definition">Definition</h2></div>

<p>Ein Prozent ist ein Hundertstel. Mit dem <a href="Prozentzeichen" title="Prozentzeichen">Zeichen %</a> für „Prozent“ gilt also nach Definition

</p>

<mfrac>

</mfrac>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle 1\,\%={\frac {1}{100}}}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/9016151ce039c348e31b1f33fa500c5f3abca449.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.838ex; width:10.907ex; height:5.176ex;" alt="{\displaystyle 1\,\%={\frac {1}{100}}}" loading="lazy"></span>.</dd></dl>

<p>Entsprechend ist

</p>

<mfrac>

</mfrac>

</mrow>

<mfrac>

</mfrac>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle p\,\%=p\cdot {\frac {1}{100}}={\frac {p}{100}}}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/126e807bee7d5a6137704d02d52a005589d72345.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.838ex; margin-left: -0.089ex; width:21.274ex; height:5.176ex;" alt="{\displaystyle p\,\%=p\cdot {\frac {1}{100}}={\frac {p}{100}}}" loading="lazy"></span>.</dd></dl>

<div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Beispiele">Beispiele</h2></div>

<ul><li>Hundert Prozent sind Eins:<br> <span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle 100\,\%={\frac {100}{100}}=1}">

<mfrac>

</mfrac>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle 100\,\%={\frac {100}{100}}=1}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/dab1179edcf18fe32925da0637b947e19e78fcc9.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.838ex; width:17.493ex; height:5.176ex;" alt="{\displaystyle 100\,\%={\frac {100}{100}}=1}" loading="lazy"></span>.</li>

<li>75 Prozent sind drei Viertel:<br> <span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle 75\,\%={\frac {75}{100}}={\frac {3}{4}}=0{,}75}">

<mfrac>

</mfrac>

</mrow>

<mfrac>

</mfrac>

</mrow>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle 75\,\%={\frac {75}{100}}={\frac {3}{4}}=0{,}75}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/e94fa978cc3d63f688f2e681acf3d432ee85495a.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.838ex; width:24.4ex; height:5.176ex;" alt="{\displaystyle 75\,\%={\frac {75}{100}}={\frac {3}{4}}=0{,}75}" loading="lazy"></span>.</li>

<li>50 Prozent sind die Hälfte:<br> <span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle 50\,\%={\frac {50}{100}}={\frac {1}{2}}=0{,}5}">

<mfrac>

</mfrac>

</mrow>

<mfrac>

</mfrac>

</mrow>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle 50\,\%={\frac {50}{100}}={\frac {1}{2}}=0{,}5}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/a04907ca0b570a0468ffe20fb13f07fadc43bf55.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.838ex; width:23.237ex; height:5.176ex;" alt="{\displaystyle 50\,\%={\frac {50}{100}}={\frac {1}{2}}=0{,}5}" loading="lazy"></span>.</li></ul>

<div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Begriffe">Begriffe</h2></div>

<p>Prozentangaben beschreiben Größenverhältnisse und beziehen sich dabei auf einen Grundwert <span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle G}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle G}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/f5f3c8921a3b352de45446a6789b104458c9f90b.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.827ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle G}" loading="lazy"></span>. Der Grundwert ist die Ausgangsgröße, auf die sich der <i>Prozentsatz</i> <span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle p\,\%}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle p\,\%}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/e5176e43a0638c5d6812f07f247073910c5e55aa.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; margin-left: -0.089ex; width:3.582ex; height:2.676ex;" alt="{\displaystyle p\,\%}" loading="lazy"></span> bezieht. Der <i>Prozentfuß</i> <span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle p}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle p}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/81eac1e205430d1f40810df36a0edffdc367af36.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; margin-left: -0.089ex; width:1.259ex; height:2.009ex;" alt="{\displaystyle p}" loading="lazy"></span> (auch <i>Prozentzahl</i> genannt) gibt an, wie viele Hundertstel des Grundwertes die Prozentangabe beträgt und bezeichnet so ein Größenverhältnis relativ zum Grundwert. Die absolute Bestimmung dieser <a href="Gr%C3%B6%C3%9Fe_(Mathematik)" title="Größe (Mathematik)">Größe</a> nennt man <i>Prozentwert</i> <span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle W}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle W}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/54a9c4c547f4d6111f81946cad242b18298d70b7.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:2.435ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle W}" loading="lazy"></span>. Der Prozentwert hat dieselbe Einheit wie der Grundwert.<sup id="cite_ref-Tietze_4-0" class="reference"><a href="#cite_note-Tietze-4"><span class="cite-bracket">[</span>4<span class="cite-bracket">]</span></a></sup>

</p>

<td colspan="2">Es gilt die Grundformel

</td></tr>

<tr>

<mfrac>

<mtext>Prozentwert</mtext>

<mtext>Grundwert</mtext>

</mfrac>

</mrow>

<mfrac>

<mtext>Prozentsatz</mtext>

<mrow>

</mrow>

</mfrac>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\frac {\text{Prozentwert}}{\text{Grundwert}}}={\frac {\text{Prozentsatz}}{100\%}}}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/e6f12bb7c2add411aa7b65241b014e1e2446667b.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.171ex; width:29.151ex; height:5.509ex;" alt="{\displaystyle {\frac {\text{Prozentwert}}{\text{Grundwert}}}={\frac {\text{Prozentsatz}}{100\%}}}" loading="lazy"></span><br></td>

<td rowspan="2">(1)

</td></tr>

<tr>

<mfrac>

</mfrac>

</mrow>

<mfrac>

</mfrac>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\frac {W}{G}}={\frac {p}{100}}}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/729f3a9721e409069d1d774b8e072332cc886908.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.005ex; width:10.693ex; height:5.343ex;" alt="{\displaystyle {\frac {W}{G}}={\frac {p}{100}}}" loading="lazy"></span>

</td></tr>

<td colspan="2">Das ergibt umgeformt:

</td></tr>

<tr>

<mfrac>

<mrow>

</mrow>

</mfrac>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle W={\frac {G\cdot p}{100}}\qquad }</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/d15e7b300f04c7d961f09598989aa3ecd83c4751.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.838ex; width:15.69ex; height:5.343ex;" alt="{\displaystyle W={\frac {G\cdot p}{100}}\qquad }" loading="lazy"></span></td>

<td>(2)

</td></tr>

<tr>

<mfrac>

<mrow>

</mrow>

</mfrac>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle p={\frac {W\cdot 100}{G}}\qquad }</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/49425f9f0e0d499f661e32f0f9bec9aec83cae09.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.005ex; margin-left: -0.089ex; width:17.44ex; height:5.343ex;" alt="{\displaystyle p={\frac {W\cdot 100}{G}}\qquad }" loading="lazy"></span></td>

<td>(3)

</td></tr>

<tr>

<mfrac>

<mrow>

</mrow>

</mfrac>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle G={\frac {W\cdot 100}{p}}\qquad }</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/8e1c1fcffa2ac3b9ec38113f9e85c008e8038538.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.338ex; width:18.008ex; height:5.676ex;" alt="{\displaystyle G={\frac {W\cdot 100}{p}}\qquad }" loading="lazy"></span></td>

<td>(4)

</td></tr>

<tr>

<mfrac>

<mrow>

</mrow>

</mfrac>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\frac {G\cdot p}{W}}=100\qquad }</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/01f40e6317accab7900a668710ccb1da60b7ec66.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.005ex; width:16.742ex; height:5.509ex;" alt="{\displaystyle {\frac {G\cdot p}{W}}=100\qquad }" loading="lazy"></span></td>

<td>(5; Prüfformel)

</td></tr></tbody></table>

<p><i>Beispiel:</i>

</p>

<mrow>

</mrow>

<mover>

<mover>

<mtext>Einwohner</mtext>

</mover>

</mrow>

<mtext>Einheit</mtext>

</mrow>

</mover>

</mrow>

</munder>

</mrow>

<mtext>Prozentwert</mtext>

</mrow>

</munder>

</mrow>

<mover>

<mover>

<mrow>

</munder>

</mrow>

<mtext>Prozentfuß</mtext>

</mrow>

</munder>

<mtext>Prozent</mtext>

</mrow>

</mover>

</mrow>

<mfrac>

</mfrac>

</mrow>

</mrow>

</mrow>

</mover>

</munder>

</mrow>

<mtext>Prozentsatz</mtext>

</mrow>

</munder>

</mrow>

</munder>

</mrow>

</mrow>

</munder>

</mrow>

<mrow>

</mrow>

<mover>

<mover>

<mtext>Einwohnern</mtext>

</mover>

</mrow>

<mtext>Einheit</mtext>

</mrow>

</mover>

</mrow>

</munder>

</mrow>

<mtext>Grundwert</mtext>

</mrow>

</munder>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \underbrace {7{.}350\,\overbrace {\text{Einwohner}} ^{\text{Einheit}}} _{\text{Prozentwert}}{\text{ sind }}\underbrace {\overbrace {\underbrace {49} _{\text{Prozentfuß}}\,{\text{Prozent}}} ^{{\frac {49}{100}}=0{,}49}} _{\text{Prozentsatz}}{\text{ }}\underbrace {\text{von}} _{\text{mal}}{\text{ }}\underbrace {15{.}000\,\overbrace {\text{Einwohnern}} ^{\text{Einheit}}} _{\text{Grundwert}}.}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/f4f289e12ac173524824289340dda711729b2232.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -8.171ex; width:62.899ex; height:14.843ex;" alt="{\displaystyle \underbrace {7{.}350\,\overbrace {\text{Einwohner}} ^{\text{Einheit}}} _{\text{Prozentwert}}{\text{ sind }}\underbrace {\overbrace {\underbrace {49} _{\text{Prozentfuß}}\,{\text{Prozent}}} ^{{\frac {49}{100}}=0{,}49}} _{\text{Prozentsatz}}{\text{ }}\underbrace {\text{von}} _{\text{mal}}{\text{ }}\underbrace {15{.}000\,\overbrace {\text{Einwohnern}} ^{\text{Einheit}}} _{\text{Grundwert}}.}" loading="lazy"></span></dd></dl>

<p>Der Begriff „Prozentsatz“ wird in der Literatur unterschiedlich verwendet. Einige Autoren verwenden ihn für den Ausdruck <span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle p\,\%}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle p\,\%}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/e5176e43a0638c5d6812f07f247073910c5e55aa.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; margin-left: -0.089ex; width:3.582ex; height:2.676ex;" alt="{\displaystyle p\,\%}" loading="lazy"></span>, andere verwenden ihn für den <a href="Ausdruck_(Mathematik)" class="mw-redirect" title="Ausdruck (Mathematik)">Ausdruck</a> <span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle p}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle p}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/81eac1e205430d1f40810df36a0edffdc367af36.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; margin-left: -0.089ex; width:1.259ex; height:2.009ex;" alt="{\displaystyle p}" loading="lazy"></span>.<sup id="cite_ref-5" class="reference"><a href="#cite_note-5"><span class="cite-bracket">[</span>5<span class="cite-bracket">]</span></a></sup> Einige Autoren verwenden um der besseren Unterscheidung willen die Begriffe <i>Prozentfuß</i> für den Ausdruck <span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle p}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle p}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/81eac1e205430d1f40810df36a0edffdc367af36.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; margin-left: -0.089ex; width:1.259ex; height:2.009ex;" alt="{\displaystyle p}" loading="lazy"></span> und <i>Prozentsatz</i> für den Ausdruck <span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle p\,\%}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle p\,\%}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/e5176e43a0638c5d6812f07f247073910c5e55aa.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; margin-left: -0.089ex; width:3.582ex; height:2.676ex;" alt="{\displaystyle p\,\%}" loading="lazy"></span>.<sup id="cite_ref-6" class="reference"><a href="#cite_note-6"><span class="cite-bracket">[</span>6<span class="cite-bracket">]</span></a></sup><sup id="cite_ref-Tietze_4-1" class="reference"><a href="#cite_note-Tietze-4"><span class="cite-bracket">[</span>4<span class="cite-bracket">]</span></a></sup>

</p>

<div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Verständnis"><span id="Verst.C3.A4ndnis"></span>Verständnis</h2></div>

<p>Für die Übertragung von Texten in Berechnungen ist ein präzises Verständnis erforderlich. Prozentangaben erfüllen die gleiche Funktion wie die Formulierungen „ein Halbes“ oder „ein Viertel“. Dabei bedeutet „ein Halbes“ das Gleiche wie „50 Prozent“ und „ein Viertel“ das Gleiche wie „25 Prozent“. Prozentangaben können darüber hinaus auch feinere Mengenverhältnisse ausdrücken als die in der <a href="Alltagssprache" class="mw-redirect" title="Alltagssprache">Alltagssprache</a> gängigen Formulierungen, zum Beispiel „23 Prozent“, was 23 Hundertstel eines Grundwertes entspricht.

</p><p>Genau wie „ein Halbes“ oder „ein Viertel“ drückt eine Prozentangabe ein Verhältnis zu einem <i>Grundwert</i> aus: <i>ein Halbes von welchem Grundwert?</i> = <i>50 Prozent von welchem Grundwert?</i>

</p>

<div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Steigerung_und_Verminderung">Steigerung und Verminderung</h3></div>

<p>Hier muss sprachlich zwischen den Ausdrücken „um“ und „auf“ unterschieden werden:

</p><p>Eine Angabe, dass eine Größe <b>um</b> p Prozent gestiegen ist, entspricht einer Multiplikation mit dem Faktor <span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle St=1+{\tfrac {p}{100}}\,,}">

<mfrac>

</mfrac>

</mstyle>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle St=1+{\tfrac {p}{100}}\,,}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/f1812ff6dcf6edeba0136593ca1892f5642d7718.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.338ex; width:13.776ex; height:3.676ex;" alt="{\displaystyle St=1+{\tfrac {p}{100}}\,,}" loading="lazy"></span> welcher wiederum als Prozentsatz ausgedrückt werden kann:

</p>

<mfrac>

</mfrac>

</mstyle>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle 1+{\tfrac {p}{100}}=100\,\%+p\,\%\,.}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/e15f1091ff19654e15183199799146076ff7b52f.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.338ex; width:23.58ex; height:3.676ex;" alt="{\displaystyle 1+{\tfrac {p}{100}}=100\,\%+p\,\%\,.}" loading="lazy"></span></dd></dl>

<p>Also bedeutet eine Steigerung um beispielsweise fünf Prozent eine Multiplikation mit dem Faktor <span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle 1{,}05\,.}">

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle 1{,}05\,.}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/797646c768689d5c0befead73bbf29f11a0c398f.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:5.168ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle 1{,}05\,.}" loading="lazy"></span>

Eine Angabe, dass eine Größe <b>auf</b> p Prozent gestiegen ist, bezieht sich hingegen direkt auf den Faktor, bei <span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle 1{,}05}">

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle 1{,}05}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/02958c7fa60ffabcf549d548bb1268994f261c6c.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:4.134ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle 1{,}05}" loading="lazy"></span> also eine Steigerung <b>auf</b> <span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle 105\,\%\,.}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle 105\,\%\,.}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/7f545e2523222cb9a7d48cb1269b6da14c6a01b2.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:6.844ex; height:2.343ex;" alt="{\displaystyle 105\,\%\,.}" loading="lazy"></span>

</p><p>Analoges gilt für eine Verringerung. Eine Verringerung <b>um</b> p Prozent entspricht einer Multiplikation mit dem Faktor :<span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle F=1-{\tfrac {p}{100}}\,,}">

<mfrac>

</mfrac>

</mstyle>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle F=1-{\tfrac {p}{100}}\,,}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/1c75f37abbf4e502598cc6859de88b612850bd37.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.338ex; width:13.178ex; height:3.676ex;" alt="{\displaystyle F=1-{\tfrac {p}{100}}\,,}" loading="lazy"></span> als Prozentsatz ausgedrückt also

</p>

<mfrac>

</mfrac>

</mstyle>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle 1+{\tfrac {p}{100}}=100\,\%-p\,\%\,.}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/afe3a5604fc09f522c8374595417c8f2d2d01d44.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.338ex; width:23.58ex; height:3.676ex;" alt="{\displaystyle 1+{\tfrac {p}{100}}=100\,\%-p\,\%\,.}" loading="lazy"></span></dd></dl>

<p>Eine Verringerung <b>um</b> fünf Prozent ist eine Multiplikation mit dem Faktor <span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle 0{,}95}">

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle 0{,}95}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/a5e5d838ff8aa53fb407606d2dc3d3989035ae9c.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:4.134ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle 0{,}95}" loading="lazy"></span>, also eine Verringerung <b>auf</b> 95 Prozent.

</p><p>Vergleicht man Prozentwerte, kann man dies in <a href="Prozentpunkt" title="Prozentpunkt">Prozentpunkten</a> oder in Prozent vom Ausgangsprozentsatz ausdrücken. Beispiel: Das Wahlergebnis einer Partei steigt von 4 % auf 5 %. Die Partei verbessert sich um einen Prozentpunkt oder um 25 % (auf 125 % des Ausgangsprozentsatzes). Prozentpunkte geben die einfache Differenz zwischen zwei Prozentsätzen an. Wird der Unterschied aber in Prozent (des Ausgangsprozentsatzes) ausgedrückt, dann muss der Ausgangsprozentsatz gedanklich auf 100 % gesetzt werden. Im obigen Beispiel sind 5 % gleich 125 % von 4 %.

</p>

<div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Grundwertänderung_bei_Sequenzen"><span id="Grundwert.C3.A4nderung_bei_Sequenzen"></span>Grundwertänderung bei Sequenzen</h3></div>

<p>Besondere Vorsicht ist bei der Verkettung mehrerer Steigerungen oder Verminderungen geboten. Wird ein Ausgangswert <span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle A}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle A}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/7daff47fa58cdfd29dc333def748ff5fa4c923e3.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.743ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle A}" loading="lazy"></span> nacheinander um den gleichen Prozentsatz <span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle p}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle p}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/81eac1e205430d1f40810df36a0edffdc367af36.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; margin-left: -0.089ex; width:1.259ex; height:2.009ex;" alt="{\displaystyle p}" loading="lazy"></span> (ungleich Null) erhöht und dann verringert, so ergibt sich keineswegs wieder der Ausgangswert als Ergebnis <span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle E}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle E}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/4232c9de2ee3eec0a9c0a19b15ab92daa6223f9b.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.776ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle E}" loading="lazy"></span>, sondern ein <i>kleinerer</i> Wert, weil sich die zweite Operation auf das Ergebnis der ersten und damit auf einen anderen Grundwert bezieht. Das wird bei Berechnung mittels Faktoren deutlich:

</p>

<mrow>

<mrow>

<mfrac>

</mfrac>

</mstyle>

</mrow>

</mrow>

<mrow>

<mrow>

<mfrac>

</mfrac>

</mstyle>

</mrow>

</mrow>

<mrow>

<mrow>

<mfrac>

<msup>

</mrow>

</msup>

</mfrac>

</mstyle>

</mrow>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle E=A\cdot \left(1+{\tfrac {p}{100}}\right)\cdot \left(1-{\tfrac {p}{100}}\right)=A\cdot \left(1-{\tfrac {p^{2}}{10000}}\right)}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/e9a9891bcdcbeae38603d82623e7f22b1cae8775.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.838ex; width:48.381ex; height:5.009ex;" alt="{\displaystyle E=A\cdot \left(1+{\tfrac {p}{100}}\right)\cdot \left(1-{\tfrac {p}{100}}\right)=A\cdot \left(1-{\tfrac {p^{2}}{10000}}\right)}" loading="lazy"></span></dd></dl>

<p>Beispiel: "Wenn 100 Euro zunächst um 10 % erhöht und dann um 10 % verringert wird, so ergibt das:

</p>

<mrow>

<mrow>

<mfrac>

</mfrac>

</mstyle>

</mrow>

</mrow>

<mrow>

<mrow>

<mfrac>

</mfrac>

</mstyle>

</mrow>

</mrow>

</mrow>

</mrow>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle E=100\cdot \left(1+{\tfrac {10}{100}}\right)\cdot \left(1-{\tfrac {10}{100}}\right)=100\cdot 1{,}1\cdot 0{,}9=100\cdot 0{,}99=99}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/17a96265e9e8ae9173c7f67c22cbfdd7f4b4f93f.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.838ex; width:65.591ex; height:4.843ex;" alt="{\displaystyle E=100\cdot \left(1+{\tfrac {10}{100}}\right)\cdot \left(1-{\tfrac {10}{100}}\right)=100\cdot 1{,}1\cdot 0{,}9=100\cdot 0{,}99=99}" loading="lazy"></span></dd></dl>

<p>Es ergeben sich also nur noch 99 Euro. Das gilt wegen der Kommutativität der Multiplikation auch für die umgekehrte Reihenfolge.

</p>

<div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Varianten_der_Prozentrechnung">Varianten der Prozentrechnung</h2></div>

<p>Die Prozentrechnung wird je nach Voraussetzungen und Anforderungen auf unterschiedliche Weise ausgeführt und unterrichtet. So können mit Proportionen die üblichen Formeln gewonnen werden, was diese sich zu merken erspart. Beim sogenannten Kopfrechnen wird meist die vermittelnde Frage, was 100 % bzw. 1 % ist (entspricht), gestellt.

</p><p>Beispiel:

</p><p>42 kg sind 7 %. Wie viel sind (entsprechen) 100 %?<br>Gegeben sind <i>W</i> (Prozentwert) und <i>p</i> % (Prozentsatz).<br>Gesucht ist <i>G</i> (Grundwert).

</p>

<th class="hintergrundfarbe3">Mit allgemeiner <a href="Formel" title="Formel">Formel</a>

</th>

<th class="hintergrundfarbe6">Mit eigener Verhältnisgleichung (<a href="Quotient#Proportionen" title="Quotient">Proportion</a>)

</th>

<th class="hintergrundfarbe4">Mit „Was ist 1 %?“ (<a href="Dreisatz" title="Dreisatz">Dreisatz</a>) <span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\frac {p\,\%}{42\,{\text{kg}}}}={\frac {100\,\%}{7\,\%}}}">

<mfrac>

<mrow>

</mrow>

<mrow>

</mrow>

</mfrac>

</mrow>

<mfrac>

<mrow>

</mrow>

<mrow>

</mrow>

</mfrac>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\frac {p\,\%}{42\,{\text{kg}}}}={\frac {100\,\%}{7\,\%}}}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/320b527caed187a5749d1351c402c734596347cd.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.338ex; width:15.683ex; height:6.009ex;" alt="{\displaystyle {\frac {p\,\%}{42\,{\text{kg}}}}={\frac {100\,\%}{7\,\%}}}" loading="lazy"></span>

</th></tr>

<tr>

<mfrac>

<mrow>

</mrow>

<mrow>

</mrow>

</mfrac>

</mrow>

<mfrac>

</mfrac>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\frac {p\,\%}{100\,\%}}={\frac {W}{G}}}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/3e020dce568d0a0aa669e827a5667aecbcacac2f.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.171ex; width:13.016ex; height:5.843ex;" alt="{\displaystyle {\frac {p\,\%}{100\,\%}}={\frac {W}{G}}}" loading="lazy"></span><br><br>mehrfaches Umstellen ergibt:<br><br><span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle G={\frac {W}{p\,\%}}\cdot {100\,\%}}">

<mfrac>

<mrow>

</mrow>

</mfrac>

</mrow>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle G={\frac {W}{p\,\%}}\cdot {100\,\%}}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/b936ad561add020e90dbcd0b7b2d80aac1f132a9.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.505ex; width:16.743ex; height:5.843ex;" alt="{\displaystyle G={\frac {W}{p\,\%}}\cdot {100\,\%}}" loading="lazy"></span><br><span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle G={\frac {42\,{\text{kg}}}{7\,\%}}\cdot {100\,\%}=600\,{\text{kg}}}">

<mfrac>

<mrow>

</mrow>

<mrow>

</mrow>

</mfrac>

</mrow>

</mrow>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle G={\frac {42\,{\text{kg}}}{7\,\%}}\cdot {100\,\%}=600\,{\text{kg}}}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/dc0eb419b3326a7aecd950b0b2d0848fb35f1eb3.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.171ex; width:27.716ex; height:5.676ex;" alt="{\displaystyle G={\frac {42\,{\text{kg}}}{7\,\%}}\cdot {100\,\%}=600\,{\text{kg}}}" loading="lazy"></span>

</td>

<mfrac>

<mrow>

</mrow>

</mfrac>

</mrow>

<mfrac>

<mrow>

</mrow>

<mrow>

</mrow>

</mfrac>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\frac {G}{42\,{\text{kg}}}}={\frac {100\,\%}{7\,\%}}}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/489af145abb84901b219d5b3fd3f17698ee64e53.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.338ex; width:15.683ex; height:5.843ex;" alt="{\displaystyle {\frac {G}{42\,{\text{kg}}}}={\frac {100\,\%}{7\,\%}}}" loading="lazy"></span><br><br>einfaches Umstellen ergibt:<br><br><span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle G={\frac {42\,{\text{kg}}}{7\,\%}}\cdot {100\,\%}=600\,{\text{kg}}}">

<mfrac>

<mrow>

</mrow>

<mrow>

</mrow>

</mfrac>

</mrow>

</mrow>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle G={\frac {42\,{\text{kg}}}{7\,\%}}\cdot {100\,\%}=600\,{\text{kg}}}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/dc0eb419b3326a7aecd950b0b2d0848fb35f1eb3.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.171ex; width:27.716ex; height:5.676ex;" alt="{\displaystyle G={\frac {42\,{\text{kg}}}{7\,\%}}\cdot {100\,\%}=600\,{\text{kg}}}" loading="lazy"></span>

</td>

<mfrac>

<mrow>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<mrow>

</mstyle>

</mrow>

</mfrac>

</mrow>

<mfrac>

<mrow>

</mrow>

<mrow>

</mrow>

</mfrac>

</mrow>

<mfrac>

<mrow>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<mrow>

</mstyle>

</mrow>

</mfrac>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\frac {42\,{\text{kg}}:{\color {red}7}}{7\,\%:{\color {red}7}}}={\frac {6\,{\text{kg}}}{1\,\%}}={\frac {6\,{\text{kg}}\cdot {\color {red}100}}{1\,\%\cdot {\color {red}100}}}}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/e71656699a55f7896e66449d277ec3a83e2d4c0f.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.171ex; width:29.952ex; height:5.676ex;" alt="{\displaystyle {\frac {42\,{\text{kg}}:{\color {red}7}}{7\,\%:{\color {red}7}}}={\frac {6\,{\text{kg}}}{1\,\%}}={\frac {6\,{\text{kg}}\cdot {\color {red}100}}{1\,\%\cdot {\color {red}100}}}}" loading="lazy"></span><br><br>ohne Umstellen ergibt der letzte Zähler:<br><br><span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle G=6\,{\text{kg}}\cdot 100=600\,{\text{kg}}}">

</mrow>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle G=6\,{\text{kg}}\cdot 100=600\,{\text{kg}}}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/101d6b23216380a14445c9ac111af61fe70e4c69.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:23.394ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle G=6\,{\text{kg}}\cdot 100=600\,{\text{kg}}}" loading="lazy"></span>

</td></tr>

<tr>

<td class="hintergrundfarbe3">Vorteil:<br>• Eine Formel für alle Aufgaben<br>

</td>

<td class="hintergrundfarbe6">Vorteile:<br>• Ohne Formel<br>• Einfaches Umstellen, wenn die gesuchte Größe – hier <i>G</i> – links oben im Zähler steht.<br>

</td>

<td class="hintergrundfarbe4">Vorteile:<br>• Ohne Formel<br>• Einfacher Dreisatz – hier als Gleichungskette<br>• Anwendung beim Kopfrechnen

</td></tr></tbody></table>

<div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Beispiele_2">Beispiele</h2></div>

<div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Anteilsberechnung">Anteilsberechnung</h3></div>

<p>Wir verwenden die bereits oben eingeführten Abkürzungen:

</p>

<ul><li>Grundwert <i>G</i>: Die Ausgangsgröße (die 100 % entspricht)</li>

<li>Prozentwert <i>W</i>: Der anteilige Wert, gemäß Prozentsatz vom Grundwert abgeleitet.</li>

<li>Prozentsatz <i>p %</i>: Der Anteil von <i>W</i> an <i>G</i>, ausgedrückt in Prozent</li>

<li>Prozentfuß <i>p</i>: Die Zahl vor dem Prozentzeichen.</li></ul>

<p>Damit lautet die Grundformel für den Prozentsatz als Verhältnis aus Prozentwert und Grundwert:

</p>

<mfrac>

</mfrac>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle p\,\%={\frac {W}{G}}}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/56b749ad152d62f7d77774e4cc449227c78657b7.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.005ex; margin-left: -0.089ex; width:9.952ex; height:5.343ex;" alt="{\displaystyle p\,\%={\frac {W}{G}}}" loading="lazy"></span>.</dd></dl>

<p>Für den Prozentfuß an Stelle des Prozentsatzes nimmt die Formel folgende Form an:

</p>

<mfrac>

</mfrac>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle p=100\cdot {\frac {W}{G}}}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/5fabf689621ae4479a7b5f7318d03581e340077b.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.005ex; margin-left: -0.089ex; width:12.795ex; height:5.343ex;" alt="{\displaystyle p=100\cdot {\frac {W}{G}}}" loading="lazy"></span>.</dd></dl>

<p>Je nach Verwendungszweck kann die Grundformel auch nach dem Grundwert <i>G</i> oder nach dem Prozentwert <i>W</i> aufgelöst werden:

</p>

<mfrac>

<mrow>

</mrow>

</mfrac>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle G={\frac {W}{p\,\%}}}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/4b0921d02a877b68ccf32f1a3da55a4dcce02423.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.505ex; width:9.254ex; height:5.843ex;" alt="{\displaystyle G={\frac {W}{p\,\%}}}" loading="lazy"></span></dd></dl>

<p>und

</p>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle W={p\,\%}\cdot G}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/bc3a027165dc3eb19e0e0776f6136cae5a3e9f15.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:12.532ex; height:2.676ex;" alt="{\displaystyle W={p\,\%}\cdot G}" loading="lazy"></span>.</dd></dl>

<p>Beispiel

</p><p>Wenn 42 kg genau 7 % sind, welches <a href="Masse_(Physik)" title="Masse (Physik)">Gewicht</a> entspricht den vollen 100 %?

</p><p>Hier sind also folgende Größen bekannt:

</p>

<ul><li>Prozentwert <i>W</i>: 42 kg</li>

<li>Prozentsatz <i>p %</i>: 7 %.</li></ul>

<p>Gesucht wird der Grundwert <i>G</i>.

</p><p>Die Lösung ergibt sich mit der nach <i>G</i> aufgelösten Prozentsatz-Grundformel als

</p>

<mfrac>

<mrow>

</mrow>

</mfrac>

</mrow>

<mfrac>

<mrow>

</mrow>

<mrow>

</mrow>

</mfrac>

</mrow>

<mfrac>

<mfrac>

</mfrac>

</mrow>

</mrow>

<mfrac>

<mrow>

</mrow>

</mfrac>

</mrow>

</mrow>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle G={\frac {W}{p\,\%}}={\frac {42\,{\text{kg}}}{7\,\%}}={\frac {42}{\frac {7}{100}}}\,{\text{kg}}={\frac {42\cdot 100}{7}}\,{\text{kg}}=600\,{\text{kg}}}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/a3eb67ccabdb114c887a63e60631cdba2f2b54f4.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -3.505ex; width:51.87ex; height:7.009ex;" alt="{\displaystyle G={\frac {W}{p\,\%}}={\frac {42\,{\text{kg}}}{7\,\%}}={\frac {42}{\frac {7}{100}}}\,{\text{kg}}={\frac {42\cdot 100}{7}}\,{\text{kg}}=600\,{\text{kg}}}" loading="lazy"></span>.</dd></dl>

<div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Umsatzsteuer">Umsatzsteuer</h3></div>

<p>Ein alltägliches Beispiel ist die Berechnung der <a href="Umsatzsteuer" title="Umsatzsteuer">Umsatzsteuer</a>. Diese ist definiert durch den Wert eines Produktes (<a href="Netto" title="Netto">Nettobetrag</a>) multipliziert mit einem <i>Umsatzsteuersatz</i>, der in Prozent angegeben wird. Der Grundwert dieser Prozentangabe ist also der Nettobetrag. Der Bruttobetrag ist die Summe von Nettobetrag und Umsatzsteuer:

</p>

<dl><dd>Umsatzsteuer = Nettobetrag · Umsatzsteuersatz</dd>

<dd>Bruttobetrag = Nettobetrag + Umsatzsteuer</dd></dl>

<p>Sind 100 Euro der Nettobetrag und der Umsatzsteuersatz beträgt 19 %, so errechnet man die Umsatzsteuer durch:

</p>

<p>Demzufolge errechnet sich der Bruttobetrag folgendermaßen:

</p>

<p>Durch Einsetzen in die Formel erhält man:

</p>

<dl><dd>Bruttobetrag = Nettobetrag + Umsatzsteuer</dd>

<dd>Bruttobetrag = Nettobetrag + (Nettobetrag · Umsatzsteuersatz)</dd>

<dd>Bruttobetrag = Nettobetrag · (1 + Umsatzsteuersatz)</dd></dl>

<p>Im gegebenen Beispiel mit einem Umsatzsteuersatz von 19 % erhält man

</p>

<dl><dd>Bruttobetrag = Nettobetrag · (1 + 19 %) = Nettobetrag · (1 + 0,19) = Nettobetrag · 1,19</dd></dl>

<p>Durch Umstellung dieser Formel lässt sich aus dem Bruttobetrag der Nettobetrag einfach errechnen durch

</p>

<mtext>Nettobetrag</mtext>

</mrow>

<mfrac>

<mtext>Bruttobetrag</mtext>

<mrow>

<mtext>Umsatzsteuersatz</mtext>

</mrow>

</mfrac>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\text{Nettobetrag}}={\frac {\text{Bruttobetrag}}{1+{\text{Umsatzsteuersatz}}}}}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/3f0984b57d8e7cc42257a9a46f8100f3b4bd646b.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.005ex; width:37.951ex; height:5.509ex;" alt="{\displaystyle {\text{Nettobetrag}}={\frac {\text{Bruttobetrag}}{1+{\text{Umsatzsteuersatz}}}}}" loading="lazy"></span>.</dd></dl>

<p>Die im Bruttobetrag enthaltene Umsatzsteuer beträgt

</p>

<mtext>Umsatzsteuer</mtext>

</mrow>

<mtext>Bruttobetrag</mtext>

</mrow>

<mtext>Nettobetrag</mtext>

</mrow>

<mtext>Bruttobetrag</mtext>

</mrow>

<mfrac>

<mtext>Bruttobetrag</mtext>

<mrow>

<mtext>Umsatzsteuersatz</mtext>

</mrow>

</mfrac>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {{\text{Umsatzsteuer}}={\text{Bruttobetrag}}-{\text{Nettobetrag}}={\text{Bruttobetrag}}-{\frac {\text{Bruttobetrag}}{1+{\text{Umsatzsteuersatz}}}}}}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/6a634e9e15016c79e962ed29bb95fa3ae27f49b0.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.005ex; width:87.09ex; height:5.509ex;" alt="{\displaystyle {{\text{Umsatzsteuer}}={\text{Bruttobetrag}}-{\text{Nettobetrag}}={\text{Bruttobetrag}}-{\frac {\text{Bruttobetrag}}{1+{\text{Umsatzsteuersatz}}}}}}" loading="lazy"></span>.</dd></dl>

<div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Sprachgebrauch">Sprachgebrauch</h3></div>

<p>Im allgemeinen Sprachgebrauch wird bei Angaben in Zusammenhang mit Prozenten häufig nicht auf die mathematische Definition geachtet, was die Ursache für Ungenauigkeiten und Fehler ist. Beispiele dafür sind:

</p>

<ul><li>„Im Rechnungsbetrag sind 19 % Umsatzsteuer enthalten“</li></ul>

<dl><dd>bedeutet, dass der Umsatzsteuersatz 19 % beträgt und der Rechnungsbetrag der Bruttobetrag ist, also Nettobetrag plus Umsatzsteuer. Korrekt müsste es daher lauten: „Im Rechnungsbetrag ist die Umsatzsteuer mit einem Umsatzsteuersatz von 19 % enthalten“.</dd></dl>

<ul><li>„Die Umsatzsteuer beträgt 19 %“</li></ul>

<dl><dd>Falsch, sollte eigentlich heißen „der <i>Umsatzsteuersatz</i> beträgt 19 %“.</dd></dl>

<ul><li>„19 % des Rechnungsbetrages sind Umsatzsteuer“</li></ul>

<dl><dd>Falsch, da es sich beim Rechnungsbetrag um den Nettowert plus Umsatzsteuer handelt. 19 % von einem Betrag von beispielsweise 119 Euro entsprechen 22,61 Euro. Tatsächlich beträgt die enthaltene Umsatzsteuer hier aber 19 Euro und macht rund 15,97 % des Rechnungsbetrages aus.</dd></dl>

<dl><dd>Da 19 % und 15,97 % nicht weit auseinander liegen, kann die falsche Formulierung zu unbemerkten Fehlern führen. Deshalb noch folgende Beispiele:</dd></dl>

<ul><li>„Mein Taschengeld hat sich um 50 % erhöht.“</li></ul>

<dl><dd>Beträgt das Taschengeld nach der Erhöhung insgesamt 15 Euro, so entsprechen 50 % hier 5 Euro. „50 %“ bezieht sich auf den Grundwert 10 Euro. Das ist der Betrag des Taschengeldes vor der Erhöhung.</dd></dl>

<ul><li>„50 % meines Taschengeldes sind ein Zuschuss von meiner Oma.“</li></ul>

<dl><dd>Beträgt das Taschengeld insgesamt 15 Euro, so entsprechen 50 % hier 7,50 Euro. „50 %“ bezieht sich hier auf den Grundwert 15 Euro. Obwohl der Prozentsatz „50 %“ in beiden Aussagen gleich ist, sind die Prozentwerte „5 Euro“ und „7,50 Euro“ unterschiedlich, da sich die Aussagen auf unterschiedliche Grundwerte beziehen.</dd></dl>

<div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Steigung_in_Prozent">Steigung in Prozent</h3></div>

<p>In der Technik (zum Beispiel Rohrleitung) wird auch die <a href="Steigung" title="Steigung">Steigung</a> (bzw. das Gefälle) in Prozent angegeben. Diese Prozentangabe drückt das Verhältnis von Höhenunterschied und waagerechter Strecke aus. Eine Steigung von 100 % bedeutet demzufolge einen Steigungswinkel von 45°. Eine Steigung von 10 % bedeutet, dass auf einer horizontalen Strecke von 100 m ein Höhenunterschied von 10 m zurückgelegt wird.

</p><p>Im <a href="Stra%C3%9Fenverkehr" title="Straßenverkehr">Straßenverkehr</a> gibt der auf einem Verkehrsschild angegebene Wert nicht die durchschnittliche Steigung des vor einem liegenden steilen Streckenabschnitts an, sondern die <i>maximale</i> Steigung dieses Streckenabschnitts.

</p>

<div class="hauptartikel" role="navigation"><span class="hauptartikel-pfeil" title="siehe" aria-hidden="true" role="presentation">→ </span><i><span class="hauptartikel-text">Hauptartikel</span>: <a href="Gradiente" title="Gradiente">Gradiente</a></i></div>

<p>Eine Steigungsangabe in Prozent lässt sich über die <a href="Arcustangens" class="mw-redirect" title="Arcustangens">Arcustangens</a>-Funktion in eine Winkelangabe (je nach DRG-Einstellung des Taschenrechners in <a href="Grad_(Winkel)" title="Grad (Winkel)">Grad</a>, <a href="Bogenma%C3%9F" class="mw-redirect" title="Bogenmaß">rad</a> oder <a href="Gon" title="Gon">gon</a>) umrechnen:

</p>

<mi>arctan</mi>

<mrow>

<mfrac>

</mfrac>

</mrow>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \alpha =\arctan \left({\frac {p}{100}}\right)}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/d83755b4be204a4c7c45bd88ce430d967e6bd8c0.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.838ex; width:18.151ex; height:4.843ex;" alt="{\displaystyle \alpha =\arctan \left({\frac {p}{100}}\right)}" loading="lazy"></span></dd></dl>

<p>Die folgende Tabelle gibt für einige typische Werte für Eisenbahnstrecken (Bereich um 1 %), Gebirgsstraßen (Bereich zwischen 10 % und 30 %), Skipisten (Bereich bis 100 %) sowie zur Illustration einige extreme Werte an.

</p>

<caption class="hintergrundfarbe5">Typische Steigungen

</caption>

<td>

<th>Steigung <span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle p}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle p}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/81eac1e205430d1f40810df36a0edffdc367af36.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; margin-left: -0.089ex; width:1.259ex; height:2.009ex;" alt="{\displaystyle p}" loading="lazy"></span>

</th>

<th>Winkel <span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \alpha }">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \alpha }</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/b79333175c8b3f0840bfb4ec41b8072c83ea88d3.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.488ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle \alpha }" loading="lazy"></span> (ca.)

</th></tr>

<tr>

<td>0,0°

</td></tr>

<tr>

<td>0,057°

</td></tr>

<tr>

<td>0,17°

</td></tr>

<tr>

<td>0,57°

</td></tr>

<tr>

<td>1,72°

</td></tr>

<tr>

<td>4,57°

</td></tr>

<tr>

<td>5,71°

</td></tr></tbody></table>

</td>

<td>

<th>Steigung <span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle p}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle p}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/81eac1e205430d1f40810df36a0edffdc367af36.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; margin-left: -0.089ex; width:1.259ex; height:2.009ex;" alt="{\displaystyle p}" loading="lazy"></span>

</th>

<th>Winkel <span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \alpha }">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \alpha }</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/b79333175c8b3f0840bfb4ec41b8072c83ea88d3.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.488ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle \alpha }" loading="lazy"></span> (ca.)

</th></tr>

<tr>

<td>6,84°

</td></tr>

<tr>

<td>8,53°

</td></tr>

<tr>

<td>11,31°

</td></tr>

<tr>

<td>14,04°

</td></tr>

<tr>

<td>16,70°

</td></tr>

<tr>

<td>21,80°

</td></tr>

<tr>

<td>26,57°

</td></tr></tbody></table>

</td>

<td>

<th>Steigung <span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle p}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle p}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/81eac1e205430d1f40810df36a0edffdc367af36.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; margin-left: -0.089ex; width:1.259ex; height:2.009ex;" alt="{\displaystyle p}" loading="lazy"></span>

</th>

<th>Winkel <span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \alpha }">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \alpha }</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/b79333175c8b3f0840bfb4ec41b8072c83ea88d3.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.488ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle \alpha }" loading="lazy"></span> (ca.)

</th></tr>

<tr>

<td>35,00°

</td></tr>

<tr>

<td>45,00°

</td></tr>

<tr>

<td>63,43°

</td></tr>

<tr>

<td>78,69°

</td></tr>

<tr>

<td>84,29°

</td></tr>

<tr>

<td>89,43°

</td></tr>

<tr>

<td>∞ (unendlich) %</td>

<td>90,00°

</td></tr></tbody></table>

<div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Stoffgemische">Stoffgemische</h3></div>

<p>Zu beachten ist auch, dass Prozentangaben für den Gehalt eines Stoffes als Mengenverhältnis Gramm pro 100 Gramm angegeben werden können, wobei zu spezifizieren und zu differenzieren ist, ob (wie bei <a href="L%C3%B6slichkeit" title="Löslichkeit">Löslichkeit</a>sangaben) Gramm Stoff pro 100 g des <i>Lösungsmittels</i> gemeint sind oder Gramm Stoff pro 100 Gramm einer <i>fertigen Lösung</i> (im Sinne einer <a href="Konzentration_(Chemie)" title="Konzentration (Chemie)">Konzentrationsangabe</a>) (mehr dazu siehe <a href="Gehaltsangabe" title="Gehaltsangabe">Gehaltsangabe</a>).

</p><p>Bei Prozentangaben von Stoffgemischen muss angegeben sein, ob sich diese auf den <a href="Massenanteil" title="Massenanteil">Massenanteil</a> oder den <a href="Volumenanteil" title="Volumenanteil">Volumenanteil</a> bezieht. Haben die Stoffe unterschiedliche <a href="Dichte" title="Dichte">Dichten</a>, so sind diese beiden Angaben verschieden. Beispielsweise wird bei Getränken der Alkoholanteil in <a href="Volumenprozent" title="Volumenprozent">Volumenprozent</a> (<i>% Vol.</i>) angegeben.

</p><p>Da <a href="Ethanol" title="Ethanol">Alkohol</a> eine geringere Dichte (ca. 0,8 g/cm³) als Wasser (ca. 1 g/cm³) hat, ist der Anteil des Alkohols in Masseprozent geringer als der in Volumenprozent. Beispielsweise beträgt für ein Getränk mit 50 % Vol. Alkohol der Masseanteil des Alkohols lediglich 44,4 % (Masse).

</p>

<div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Eingabe_am_Taschenrechner">Eingabe am Taschenrechner</h2></div>

<p><a href="Taschenrechner" title="Taschenrechner">Taschenrechner</a> unterschiedlicher Bauart und Hersteller behandeln die Tastatureingabe einer Prozentrechnung unterschiedlich. Dies kann zu Verwirrungen bzw. dazu führen, dass Benutzer von Taschenrechnern bei Prozentrechnungen auf die Prozenttaste verzichten und eher auf den <a href="Dreisatz" title="Dreisatz">Dreisatz</a> oder auf die obenstehende Formel zurückgreifen.

</p>

<div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Etymologie">Etymologie</h2></div>

<p>Der Begriff <i>Prozent</i> entstammt der Kaufmannssprache und taucht im Deutschen erstmals im 15. Jahrhundert in kaufmännischen Dokumenten aus Süddeutschland auf. Dort wird jedoch noch nicht das heutige Wort verwendet, sondern das aus dem Italienischen übernommene <i>per cento</i> (<a href="Deutsche_Sprache" title="Deutsche Sprache">dt</a>. pro hundert).<sup id="cite_ref-duden_7-0" class="reference"><a href="#cite_note-duden-7"><span class="cite-bracket">[</span>7<span class="cite-bracket">]</span></a></sup> Das italienische <i>cento</i> wiederum leitet sich von dem lateinischen <i>centum</i> (dt. <i>hundert</i>) ab. Im 16. Jahrhundert setzte sich im hochdeutschen Sprachraum dann eine Umstellung auf <i>pro cento</i> durch,<sup id="cite_ref-duden_7-1" class="reference"><a href="#cite_note-duden-7"><span class="cite-bracket">[</span>7<span class="cite-bracket">]</span></a></sup> die dann zum heutigen Prozent und der inzwischen veralteten relatinisierten Form <i>pro centum</i> geworden ist.<sup id="cite_ref-8" class="reference"><a href="#cite_note-8"><span class="cite-bracket">[</span>8<span class="cite-bracket">]</span></a></sup><sup id="cite_ref-9" class="reference"><a href="#cite_note-9"><span class="cite-bracket">[</span>9<span class="cite-bracket">]</span></a></sup> In Österreich jedoch blieb die ursprüngliche italienische Form weiterhin erhalten und wurde zu dem heutigen (inzwischen allerdings auch veralteten) <i>Perzent</i>.<sup id="cite_ref-10" class="reference"><a href="#cite_note-10"><span class="cite-bracket">[</span>10<span class="cite-bracket">]</span></a></sup><sup id="cite_ref-duden_7-2" class="reference"><a href="#cite_note-duden-7"><span class="cite-bracket">[</span>7<span class="cite-bracket">]</span></a></sup>

</p>

<div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Schreibweise">Schreibweise</h2></div>

<ul><li>Die typografisch korrekte Schreibweise ist mit einem Leerzeichen zwischen Zahl und Prozentzeichen. Im Computersatz ist hier ein <a href="Gesch%C3%BCtztes_Leerzeichen" title="Geschütztes Leerzeichen">geschütztes Leerzeichen</a> zu verwenden, um einen Umbruch zwischen Zahl und Prozentzeichen zu verhindern. Diese Regel gilt neben der deutschen in vielen weiteren Sprachen wie in der französischen, norwegischen, russischen und schwedischen Sprache. In der englischen Sprache wird dagegen kein Leerzeichen zwischen Zahl und Prozentzeichen gesetzt.</li>

<li>Bei Verwendung mit Nachsilbe wird zusammengeschrieben. Beispiel: „15%ige Steigung“. Eleganter ist jedoch, halb oder ganz auszuschreiben: „15-prozentige Steigung“ oder „fünfzehnprozentige Steigung“.</li>

<li>Singular/Plural: 1 % wird im Singular geschrieben, bevorzugt mit „ein“ statt Zahl: „Das ist nur ein Prozent aller Stimmen“. Andere Werte im Plural: „Das sind 7,5 % der Stimmen.“ oder „Das sind nur drei Prozent der Stimmen.“</li></ul>

<div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Weitere_Begriffe">Weitere Begriffe</h2></div>

<ul><li><i>Prozentränge</i> oder <i><a href="Quantil_(Wahrscheinlichkeitstheorie)#Perzentil" title="Quantil (Wahrscheinlichkeitstheorie)">Perzentile</a></i> bezeichnen die Intervalle, die eine statistische Verteilung in 100 anteilsgleiche Teile zerlegen.</li>

<li><a href="Promille" title="Promille">Promille</a> haben als Referenzwert die 1000, nicht die 100.</li>

<li>Als <a href="Prozentpunkt" title="Prozentpunkt">Prozentpunkte</a> werden die Differenz zwischen zwei Prozentwerten bezeichnet, und <i>Basispunkt</i> bezeichnet den hundertsten Teil eines Prozentpunktes bei Zinssätzen.</li>

<li>Der Begriff <a href="Bremshundertstel" title="Bremshundertstel">Bremshundertstel</a> wird im Eisenbahnwesen bei der Angabe des Bremsvermögens von Schienenfahrzeugen verwendet.</li></ul>

<div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Literatur">Literatur</h2></div>

<ul><li>Melanie Parker, Gaea Leinhardt: <i>Percent: A Privileged Proportion.</i> In: <i>Review of Educational Research</i>, Band 65, Nr. 4, 1995, S. 421–428.</li></ul>

<div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Weblinks">Weblinks</h2></div>

<div class="sisterproject" style="margin:0.1em 0 0 0;"><span class="noviewer" style="display:inline-block; line-height:10px; min-width:1.6em; text-align:center;" aria-hidden="true" role="presentation"><span class="mw-default-size" typeof="mw:File"><span title="Wiktionary"></span></span></span><b><a href="https://de.wiktionary.org/wiki/Prozent" class="extiw external" title="wikt:Prozent">Wiktionary: Prozent</a></b> – Bedeutungserklärungen, Wortherkunft, Synonyme, Übersetzungen</div>

<div class="sisterproject" style="margin:0.1em 0 0 0;"><div class="noviewer" style="display:inline-block; line-height:10px; min-width:1.6em; text-align:center;" aria-hidden="true" role="presentation"><span class="mw-default-size" typeof="mw:File"><span title="Wikibooks"></span></span></div><b><a href="https://de.wikibooks.org/wiki/Mathematrix:_Kompass/_Schluss_und_Prozentrechnung/_Prozentrechnung" class="extiw external" title="b:Mathematrix: Kompass/ Schluss und Prozentrechnung/ Prozentrechnung">Wikibooks: <span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\color {BlueViolet}{\begin{smallmatrix}{\mathbf {MATHE} \mu \alpha T\mathbb {R} ix}\end{smallmatrix}}}}">

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</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/71f3bc3a8be9094ed6450336c9d0029276df282b.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.342ex; margin-bottom: -0.33ex; width:13.904ex; height:2.009ex;" alt="{\displaystyle {\color {BlueViolet}{\begin{smallmatrix}{\mathbf {MATHE} \mu \alpha T\mathbb {R} ix}\end{smallmatrix}}}}" loading="lazy"></span> Mathematik für die Schule</a></b> – Prozentrechnung</div>

<ul><li><a rel="nofollow" class="external text" href="https://www.formelsammlung-mathe.de/prozentrechnung.html">Formelsammlung Mathe: Prozentrechnung</a> – Übersichtliche Darstellung der wichtigsten Formeln zur Prozentrechnung</li>

<li><i><a rel="nofollow" class="external text" href="https://de.serlo.org/2193">Prozentrechnung mit Formeln</a>.</i> In: <i>Serlo</i>.</li></ul>

<div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Einzelnachweise">Einzelnachweise</h2></div>

<li id="cite_note-1"><span class="mw-cite-backlink"><a href="#cite_ref-1">↑</a></span> <span class="reference-text"><i>Meyers großes Taschenlexikon in 24 Bänden</i>. BI-Taschenbuchverlag, 1992, Band 17, S. 308.</span>

</li>

<li id="cite_note-2"><span class="mw-cite-backlink"><a href="#cite_ref-2">↑</a></span> <span class="reference-text"><a rel="nofollow" class="external text" href="https://gfds.de/x-vom-hundert/">Vorkommen von <i>X vom Hundert</i>.</a> Gesellschaft für deutsche Sprache; abgerufen am 21. November 2012.</span>

</li>

<li id="cite_note-3"><span class="mw-cite-backlink"><a href="#cite_ref-3">↑</a></span> <span class="reference-text">Punkt 3.1.5, Tabelle 2 in der DIN 1333 – Ausgabe September 1992.</span>

</li>

<li id="cite_note-Tietze-4"><span class="mw-cite-backlink">↑ <sup><a href="#cite_ref-Tietze_4-0">a</a></sup> <sup><a href="#cite_ref-Tietze_4-1">b</a></sup></span> <span class="reference-text">Jürgen Tietze: <i>Einführung in die Finanzmathematik</i>. 10. Auflage. Vieweg+Teubner Verlag 2010, ISBN 978-3-8348-9643-8, S. 1–2 (<a rel="nofollow" class="external text" href="https://books.google.de/books?id=jfNwSDuzYlgC&pg=PA1#v=onepage">Auszug (Google)</a>).</span>

</li>

<li id="cite_note-5"><span class="mw-cite-backlink"><a href="#cite_ref-5">↑</a></span> <span class="reference-text"><i>Meyers kleine Enzyklopädie Mathematik</i>. 14., neu bearb. und erw. Auflage. Hrsg. von Siegfried Gottwald … Meyers Lexikonverlag, Mannheim 1995, ISBN 3-411-07771-9, S. 149.</span>

</li>

<li id="cite_note-6"><span class="mw-cite-backlink"><a href="#cite_ref-6">↑</a></span> <span class="reference-text">Fritz Reinhardt: <i>dtv-Atlas Schulmathematik</i>. Deutscher Taschenbuch Verlag, 2002, ISBN 3-423-03099-2, S. 90–91.</span>

</li>

<li id="cite_note-duden-7"><span class="mw-cite-backlink">↑ <sup><a href="#cite_ref-duden_7-0">a</a></sup> <sup><a href="#cite_ref-duden_7-1">b</a></sup> <sup><a href="#cite_ref-duden_7-2">c</a></sup></span> <span class="reference-text"><i>Etymologie. Herkunftswörterbuch der deutschen Sprache.</i> Duden Band 7, Bibliographisches Institut Mannheim 1963, ISBN 3-411-00907-1, S. 535.</span>

</li>

<li id="cite_note-8"><span class="mw-cite-backlink"><a href="#cite_ref-8">↑</a></span> <span class="reference-text"><a rel="nofollow" class="external text" href="https://www.duden.de/definition/pro%20centum">duden.de</a></span>

</li>

<li id="cite_note-9"><span class="mw-cite-backlink"><a href="#cite_ref-9">↑</a></span> <span class="reference-text">Boris Paraschkewow: <i>Wörter und Namen gleicher Herkunft und Struktur: Lexikon etymologischer Dubletten im Deutschen</i>. Walter de Gruyter 2004, ISBN 978-3-11-017470-0, S. 54 (<a rel="nofollow" class="external text" href="https://books.google.de/books?id=X_dv14TWVxcC&pg=PA54#v=onepage">Auszug</a> in der Google-Buchsuche).</span>

</li>

<li id="cite_note-10"><span class="mw-cite-backlink"><a href="#cite_ref-10">↑</a></span> <span class="reference-text"><a rel="nofollow" class="external text" href="https://www.duden.de/definition/perzent">duden.de</a> abgerufen am 5. Dezember 2009</span>

</li>

</ol></div><div><div class="zim-footer">

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